Kavram ve gerekçelendirme
Parametre, evrene ait sabit ancak bilinmeyen bir niceliktir; örneklemden hesaplanan tahmin edici ise rastlantısaldır. Nokta tahminine ek olarak güven aralığı, kullanılan yöntemin belirsizliğini ve varsayımlarını görünür kılar.
Normal bağımsız gözlemlerde σ bilinmiyorsa ortalama için (X̄−μ)/(s/√n) istatistiği, evren normalse tam olarak t(n−1) dağılımını izler. n büyükken ve uygun koşullarda yaklaşık yöntemler de kullanılabilir; küçük örneklem ve güçlü çarpıklıkta dikkat gerekir.
İki taraflı %95 t-güven aralığı X̄ ± t_(0,975;n−1) × s/√n biçimindedir. Uzun dönem tekrarlı örneklemede doğru kurulan aralıkların yaklaşık %95'i sabit μ değerini kapsar. Tek aralık için μ'nün hareket ettiğini söylemeyiz.
Dar bir güven aralığı, örneklemin evreni temsil ettiğini garanti etmez. Seçilim, ölçüm hataları ve gözlemlerin bağımsızlığı her zaman yorumun parçasıdır.
Formül
CI_95: X̄ ± t_(0.975, df=n−1) × s/√n
Adım adım çözümlü örnek
- Kurmaca örnekte n=25, örneklem ortalaması 68, s=10. Standart hata s/√n=10/5=2.
- Serbestlik derecesi 24 ve t_(0,975;24)≈2,064. Hata payı 2,064×2≈4,128.
- Böylece %95 t-aralığı ≈[63,87;72,13] olur. Bu kapsama yorumu, model ve örnekleme varsayımlarına bağlıdır.
Bağımsız alıştırmalar
- n=16, X̄=50, s=8 için standart hata ve df değerini hesapla.
- t_(0,975;15)≈2,131 ise aynı örneğin %95 aralığını hesapla.
- %95 güven aralığındaki %95'in neyi anlattığını koşullu olarak açıkla.
Yazılı çözümler özel öğretmen notlarındadır.
Base R doğrulaması
xbar <- 68; s <- 10; n <- 25
tcrit <- qt(0.975, df=n-1)
se <- s/sqrt(n)
interval <- xbar + c(-1,1)*tcrit*se
c(tcrit=tcrit, se=se, lower=interval[1], upper=interval[2])