Kavramsal ve matematiksel anlatım
Rassal değişken X, olası deney sonuçlarını sayılara eşler. Ayrık bir değişkenin olasılık kütlesi P(X=k), sayılabilir değerlerine olasılık verir ve bu olasılıklar toplamı 1'dir.
Bernoulli denemesinde başarı=1 olasılığı p, başarısızlık=0 olasılığı 1−p'dir. n bağımsız ve eşit p'li denemede başarı sayısı X~Binomial(n,p) dağılımındadır. Bağımsızlık, sabit n ve eşit p model koşullarıdır.
Beklenen değer E(X) kuramsal ortalamadır; tek seferlik sonucu garanti etmez. Varyans Var(X) beklenen değerden karesel sapmayı ölçer. Binom için E(X)=np ve Var(X)=np(1−p); SD varyansın kareköküdür.
Ana formül
P(X=k)=C(n,k) p^k (1−p)^(n−k) E(X)=np Var(X)=np(1−p)
Çözümlü örnek: adım adım
- 10 bağımsız denemede p=0,30 ise X~Binomial(10,0,30).
- E(X)=10×0,30=3. Var(X)=10×0,30×0,70=2,1 ve SD≈1,449.
- Tam iki başarı P(X=2)=C(10,2)×0,3²×0,7⁸≈0,2335. Beklenen 3 başarı, her deneyde üç başarı geleceği anlamına gelmez.
Bağımsız alıştırmalar
- X~Binomial(4,0,5) için P(X=2) kaçtır?
- X~Binomial(20,0,2) için E(X), Var(X) ve SD hesapla.
- Denemeler birbirini etkilerse binom modeli ne açıdan yanıltabilir?
Yazılı çözümler özel öğretmen rehberindedir.
Seçimlik base R doğrulaması
n <- 10; p <- 0.30
c(expected=n*p, variance=n*p*(1-p))
dbinom(2, size=n, prob=p)
set.seed(2026)
sim <- rbinom(10000, size=n, prob=p)
c(mean=mean(sim), variance=var(sim))